Krzywa dochodowości jako instrument arbitrażowy

1. Wstęp

Porównanie modelowego rozkładu stóp procentowych wyznaczonych na podstawie krzywej dochodowości z rzeczywistymi wartościami stóp procentowych kształtującymi się na rynku finansowym lub z prognozowanymi stopami procentowymi wyznaczonymi innymi metodami może stanowić podstawę do podejmowania optymalnych decyzji inwestycyjnych. Z tego też powodu inwestorzy konstruują krzywe dochodowości, aby posługując się nimi odnajdywać aktywa, które są w danym momencie niedowartościowane celem kupna lub przewartościowane, celem sprzedaży. Zdarza się jednak, że tworzone przez inwestorów krzywe różnią się w pewnym stopniu od siebie i zawyżają lub zaniżają wartość godziwą instrumentów (Choudhry, 2019; Fontaine and Nolin, 2019).
W tym rozdziale omówiona została struktura terminowa stóp procentowych, jej graficzna prezentacja, czyli krzywa dochodowości oraz jej koncepcje wraz z czynnikami, które na nią wpływają. Kolejnym zagadnieniem jest pojęcie arbitrażu oraz koncepcja efektywoności strategii arbitrażowych.

Poznaj AdValue – dowiedz się więcej o naszej działalności. 

2. Koncepcja krzywej dochodowości

W świecie finansów można wyróżnić cztery podstawowe kształty krzywej dochodowości, jednak w praktyce mogą one przyjmować różne kształty. Do najczęściej rozróżnianych należą (Ilmanen and Iwanowski, 1997): normalny/rosnący (normal) – rentowność do wykupu papierów krótkoterminowych jest niższa niż papierów długoterminowych, odwrócony/malejący (inverted) – rentowność do wykupu papierów krótkoterminowych jest taka sama jak papierów długoterminowych, płaski (flat) – rentowność do wykupu papierów krótkoterminowych jest wyższa niż papierów długoterminowych, zgarbiony (hump – shaped) – rentowność do wykupu papierów średnioterminowych jest wyższa od papierów krótko- i
długoterminowych (Wood, 1964; Choudhry, 2019). Najczęstszym kształtem przyjmowanym przez krzywą dochodowości jest kształt normalny, co oznacza, że stopa procentowa wzrasta razem z długością okresu do wykupu. Taki kształt krzywej daje świadectwo o dobrym stanie gospodarki (Dai and Singleton, 2003).
Aby lepiej zrozumieć kształt krzywej dochodowości, wyróżnia się trzy podstawowe teorie, które go tłumaczą. Należą do nich: teoria oczekiwań (expectations theory) mówi o przewidywaniach inwestorów co do przyszłych stóp procentowych; stopy forward odzwierciedlają oczekiwany poziom stóp; mamy też oczekiwania co do stopy inflacji, teoria preferencji płynności (liquidity preference theory) wiemy, że kredytodawcy wolą krótki termin, natomiast kredytobiorcy wolą dłuższy termin; stąd papier o dłuższym terminie zapadalności powinien mieć wyższą stopę dochodu niż papier o krótkim terminie, teoria segmentacji rynku (market segmentation theory) rynek podzielony jest na segmenty – papiery o tym samym terminie wykupu; segmenty nie zależą od siebie; stopy dochodu w segmencie kształtowane są tylko i wyłącznie przez podaż i popyt; przykładowo: banki preferują krótki koniec krzywej dochodowości, fundusze emerytalne, natomiast długi koniec krzywej dochodowości (Dai and Singleton, 2003; Choudhry, 2019). Za główną koncepcję teorii oczekiwań rynkowych uważa się to, że implikowane stopy terminowe mają za zadanie odzwierciedlić w sposób dokładny oczekiwania inwestorów, jakie mają wobec przyszłego poziomu stóp natychmiastowych. Podstawowym czynnikiem, który je kształtuje, są oczekiwania inwestorów co do stopy inflacji w przyszłości. Krzywa dochodowości przyjmująca rosnący kształt powoduje, że inwestorzy oczekują wzrostu stopy inflacji, natomiast malejący kształt krzywej przekłada się na oczekiwania inwestorów co do spadku stopy inflacji w przyszłości (Taylor, 1992; Ilmanen and Iwanowski, 1997). Teoria preferencji płynności mówi o tym, że na poziom stóp terminowych oprócz oczekiwań rynkowych co do przyszłego poziomu stóp natychmiastowych wpływ ma również premia za ryzyko adekwatna dla danego okresu zapadalności. Jest to teoria, która próbuje tłumaczyć rosnący kształt krzywej dochodowości w stosunku do wysokości premii za ryzyko (Choudhry, 2019; Tobin, 1958).
Teoria segmentacji rynku przedstawia rynek jako podzielony na trzy segmenty. Są to segmenty instrumentów krótkoterminowych, średnioterminowych oraz długoterminowych. Na każdym z nich działa inna grupa inwestorów, a kształt krzywej dochodowości jest determinowany przez instytucjonalną strukturę rynków finansowych. Zatem rosnący kształt krzywej spowodowany jest dużym popytem inwestorów z segmentu krótkoterminowego, a malejący kształt krzywej znaczy o większym zainteresowaniu wśród inwestorów długoterminowych (Johnson et al., 2004).

3. Czynniki wpływające na krzywą dochodowości

Struktura terminowa stóp procentowych ujmuje oddziaływanie wielu determinantów, które
określających poziom stóp procentowych. Na poziom stóp procentowych krótkoterminowych istotny wpływ ma polityka stopy procentowej banku centralnego. Do innych czynników można też zaliczyć popyt oraz podaż na środki płynne obrazujące aktualną sytuację na rynku pieniężnym. W przypadku długoterminowych stóp procentowych ważną rolę odgrywają szczególnie oczekiwania rynkowe co do szacowanej inflacji, jak i decyzji monetarnych. Na kształt krzywej dochodowości wpływają również czynniki makroekonomiczne. Tytułem przykładu wzrost stóp rynkowych spowodowany może być: spadkiem podaży pieniądza, spadkiem bezrobocia, wzrostem podstawowych wskaźników gospodarczych (przykładowo: PKB, produkcja przemysłowa), wzrostem cen detalicznych CPI i hurtowych PPI, wzrostem dochodów osobistych, wzrostem aktywności sektora budowlanego, wzrostem indeksu zamówień na dobra trwałego użytku, wzrostem cen ropy. (Cox et al., 1981)

Przeczytaj Case Study i sprawdź jak pracujemy. 

4. Arbitraż i jego rola na rynkach finansowych

Arbitraż jest elementem spajającym rozwinięty rynek finansowy. Jest niezbędny przy wycenie instrumentów finansowych, zwłaszcza instrumentów pochodnych, a także jest nieodzowny przy ustalaniu wartości firmy Arbitraż można przedstawić jako operację, która polega na jednoczesnym zawarciu
przeciwnych transakcji na minimum dwóch rynkach, aby osiągnąć zysk poprzez skorzystanie z różnicy cen kupna oraz sprzedaży określonego instrumentu na tych rynkach, jednocześnie nie ponosząc ryzyka.
Inna definicja opisuje arbitraż jako niespekulacyjny transfer kapitału z jednego rynku na drugi, wykorzystując różnice cenowe między odpowiednimi instrumentami na tych rynkach. Transfer kapitału dokonuje się poprzez jednocześnie wykonywane transakcje na powiązanych rynkach, co prowadzi do uzyskania wolnej od ryzyka pozycji, gwarantującej dochód niezależnie od zmian sytuacji rynkowej (Varian, 1987)

W celu dokonania arbitrażu musi zachodzić możliwość natychmiastowej sprzedaży danego instrumentu. Transakcje arbitrażowe cechują się tym, że warunki do ich przeprowadzenia nie trwają długo. Istotne jest też to, aby sytuacja na rynku nie wahała się do momentu, aż inwestor będzie mógł przeanalizować opłacalność transakcji oraz będzie mieć czas na ich zawarcie.
Aby zawarcie transakcji dawało zysk, musi zostać spełniony następujący warunek: suma poniesionych kosztów prowizji, dodatkowych opłat, czy depozytów zabezpieczających musi być mniejsza od różnicy ceny kupna, a ceny sprzedaży danego instrumentu. Inwestorzy zazwyczaj przeznaczają znaczny kapitał w transakcje arbitrażowe, co jest spowodowane tym, że jednostkowy zysk arbitrażowy jest niewielki. Arbitraż jest sprzeczny z założeniem modelu doskonałego rynku finansowego, według którego dobra charakteryzujące się jednakowymi funkcjami są jednakowo wyceniane.

5. Arbitraż w wycenie instrumentów dłużnych

Ceny papierów wartościowych, które są w publicznym obrocie według założeń hipotezy rynku efektywnego, powinny w dowolnym momencie odzwierciedlać wszystkie dostępne informacje na ich temat. Teoria ta mówi, że inwestorzy działający na rynku w celu osiągnięcia możliwie najwyższych stóp zwrotu w pierwszej kolejności wykonują racjonalną wycenę walorów, których kupnem są zainteresowani, a następnie oceniają opłacalność tej inwestycji. Do możliwych należy również opcja, że część z inwestorów może działać nieracjonalnie, co powoduje, że ceny papierów wartościowych w niedługich okresach mogą odbiegać od ich rzeczywistej wartości. Tego typu przykłady nieefektywności nie będą miały miejsca w perspektywie długoterminowej, ponieważ zgodnie z powyższą teorią jakiekolwiek różnice cenowe będą błyskawicznie redukowane przez racjonalnie postępujących inwestorów przy użyciu transakcji arbitrażowych. W konsekwencji tego nierealne jest, aby w dłuższej perspektywie czasowej inwestorzy przy pomocy transakcji arbitrażowych osiągali wyższe stopy zwrotu, aniżeli wynosi stopa wolna od ryzyka. Przeciwnicy hipotezy rynku efektywnego zwracają uwagę na jej ograniczenia, w głównej mierze na nierespektowanie czynników behawioralnych, które mogą powodować, że także w długim terminie inwestorzy mogą zachowywać się nieracjonalnie. Kolejnym aspektem jest również koszt analizy, który można przedstawić jako nakład kosztu i pracy, który inwestor musi ponieść w celu przeprowadzenia efektywnej wyceny określonego papieru wartościowego. W sytuacji gdy wspomniany koszt będzie wyższy od możliwych do osiągnięcia zysków, wycena nie będzie przeprowadzana, powodując w dalszym ciągu utrzymywanie się incydentów nieefektywności. Na podstawie powyższych argumentów można wywnioskować, że wyceny papierów wartościowych, które są dostępne w publicznym obrocie, mogą nieefektywnie obrazować ich wartość rzeczywistą, stwarzając okazje do dokonywania transakcji arbitrażowych.
Praktycznie rzecz biorąc, arbitraż natyka się na liczne przeszkody i dodatkowe elementy ryzyka, co skutkuje tym, że pomimo istniejących przypadków nieefektywności rynku, transakcje arbitrażowe nie zawsze są realizowane. Ich dokonanie mogłoby prowadzić do osiągnięcia stopy zwrotu niższej od stopy wolnej od ryzyka. Można więc przyjąć, że transakcje arbitrażowe nie mogą w sposób efektywny niwelować działań, które podejmują nieracjonalnie postępujący inwestorzy.
Nierzadko zdarza się, że wyceny instrumentów dłużnych dochodzą do różnych wartości.
Do najważniejszych problemów należą kwestie dotyczące estymacji krzywej dochodowości jak np.: wybór modelu, odpowiedni dobór danych rynkowych, konstrukcja algorytmu optymalizującego parametry funkcji dochodowości.
Różnice w wycenie mogą nastąpić również w wyniku rozbieżnych szacunków przyszłych przepływów pieniężnych. Założenia dotyczące przyszłej rentowności spółki mogą mieć wpływ na wnioski wyceniającego dotyczące zdolności spółki do spłacania odsetek od zadłużenia, wpływając tym samym na szacunki dotyczące wartość tych instrumentów. Różnice mogą wynikać również z powodu różnych szacunków premii za ryzyko. Koszt długu to stopa, po której firma może pożyczyć pieniądze. Stopa (lub rentowność) żądana przez posiadaczy długu będzie funkcją zarówno ogólnego poziomu stóp procentowych, jak i ryzyka kredytowego specyficznego dla danego emitenta. Przy założeniu, że wszystkie inne czynniki są jednakowe, im wyższe ryzyko niewykonania zobowiązań z tytułu długu, tym
wyższa rentowność, której będą żądać posiadacze długu. Jeśli spółka wyemitowała dług, rentowność z tego długu może być szacunkowym kosztem zadłużenia firmy. Jeśli firma nie ma długu, koszt długu dla porównywalnych firm (np. firm z tej samej branży lub o tym samym ratingu kredytowym) może być użyty jako wskaźnik zastępczy. Konieczne może być wprowadzenie korekt w celu odzwierciedlenia unikalnych okoliczności związanych z emitentem i emisją. Wyceniający mogą nie zgadzać się co do obecności i charakteru takich korekt.

6. Arbitraż statystyczny

Arbitraż statystyczny (ang. statistical arbitrage) w świecie finansów można przedstawić jako grupę strategii finansowych wykorzystujących modele średniej rewersji w celu inwestowania w szeroko zdywersyfikowane portfele papierów wartościowych (liczące od setek do tysięcy) przez bardzo krótki okres, często tylko kilka sekund, ale nawet kilka dni. Do obsługiwania strategii arbitrażowych używane są platformy matematyczne, obliczeniowe i handlowe. Arbitraż statystyczny odnosi się do wszystkich strategii finansowych, które wykorzystują techniki statystyczne i ekonometryczne do osiągania zysków z elementem redukcji ryzyka rynkowego. Możliwości arbitrażowe mogą występować zarówno w perspektywie krótkoterminowej, jak i długoterminowej. Pierwszą strategię arbitrażową opracował Gerry Bamberger w połowie lat 80 XX wieku. Dotyczyła ona handlu parami w firmie Morgan Stanley.
Istnieje wiele rodzajów arbitrażu statystycznego, jednak do najbardziej powszechnych można zaliczyć: arbitraż neutralny rynkowo (Market Neutral Arbitrage) – strategia ma zerową wartość beta, co oznacza, że na jej zwroty nie mają wpływu ruchy cen rynkowych. Arbitraż między aktywami (Cross Asset Arbitrage) – polega na różnicy cen między składnikiem aktywów finansowych, a jego instrumentem bazowym. Może to być indeks i jego kontrakty futures, indeksy i akcje składowe lub wszystko, co reprezentuje dany instrument finansowy. Arbitraż międzyrynkowy (Cross Market Arbitrage) – opiera się
na jednoczesnym kupnie i sprzedaży tego samego instrumentu finansowego na różnych rynkach, umożliwiając inwestorowi wykorzystanie różnic cenowych. Statystyczne modele arbitrażowe obejmują zarówno systemowe, jak i idiosynkratyczne ryzyko inwestycyjne. Inwestorzy wykorzystują relacje z przeszłości do przewidywania przyszłości, a relacje te mogą być zależne od zmian w gospodarce. Dodatkowo wszystkie rodzaje statystycznego arbitrażu wiążą się z występowaniem ryzyka strategicznego. Również papiery wartościowe, które przestały ze sobą kointegrować, mogą kointegrować ponownie. Arbitraż statystyczny jako ilościowe i analityczne podejście do tradingu ma za zadanie zminimalizować ekspozycję beta w dwóch etapach: Scoring zapewnia ranking dla każdej
dostępnej akcji zgodnie z ich potrzebami inwestycyjnymi, a redukcja ryzyka łączy pożądane akcje w specjalnie zaprojektowany portfel w celu zmniejszenia ryzyka. Inwestorzy zazwyczaj identyfikują sytuacje arbitrażowe za pomocą technik modelowania matematycznego. Strategie arbitrażu statystycznego są dla rynku neutralne, ponieważ opierają się na jednoczesnym otwarciu długiej i krótkiej pozycji w celu wykorzystania względnych błędnych wycen historycznych instrumentów finansowych. Arbitraż statystyczny nie jest ściśle ograniczony do dwóch papierów wartościowych. Inwestorzy mogą korzystać z tej koncepcji do grupy skorelowanych papierów wartościowych. Ponadto fakt, że dwie spółki działają
w różnych sektorach, nie oznacza, że nie można ich ze sobą skorelować. Arbitraż statystyczny jest obarczony ryzykiem. Jest ono w dużej mierze zależne od zdolności cen rynkowych do powrotu do historycznej lub prognozowanej wartości, powszechnie nazywanej średnim odwróceniem. Jednak dwie spółki, które działają w tej samej branży, mogą przez długi czas pozostawać nieskorelowane ze względu na czynniki mikro oraz makro. Większość strategii arbitrażu statystycznego wykorzystuje algorytmy
High Frequency Trading (HFT) do wykorzystywania niewielkich nieefektywności, które trwają często przez zaledwie milisekundy. Duże pozycje w obu akcjach są niezbędne do generowania wystarczających zysków z tak niewielkich zmian cen. Daje to dodatkowe ryzyko do strategii arbitrażu statystycznego, jednak można użyć opcji, aby załagodzić część ryzyka.

7. Koncepcja efektywności strategii arbitrażowych (limits of arbitrage)

W ciągu ostatnich kilkunastu lat coraz częściej w badaniach rynków finansowych można zaobserwować trend, który kierunkuje się na analizę efektywności tych rynków. W jego ramach pojawia się próba oceny poziomu dojrzałości rynków kapitałowych jak i wskazanie na potencjalne poprawności w ich ewolucyjnych przemianach. Definicję efektywności rynku można przedstawić jako właściwość rynku, dzięki której możliwe będzie momentalne odzwierciedlenie ogółu informacji rynkowych, które są dostępne w danym momencie w cenie instrumentów finansowych.
Słaba hipoteza rynku efektywnego wskazuje, że obecne ceny papierów wartościowych dyskontują wachlarz informacji bieżących oraz historycznych o rynku i występujących na nim instrumentach finansowych. Oznacza to, że nie da się przewidzieć przyszłych zmian cen oraz nie można skutecznie korzystać z narzędzi analizy technicznej do wypracowywania ponadprzeciętnych zysków, korzystając jedynie z historycznych informacji rynkowych, oraz różnych wskaźników jak np. wysokość obrotów.
Półsilna hipoteza rynku efektywnego mówi o tym, że obecne ceny papierów wartościowych znajdują się w silnej relacji z wszystkimi publicznie dostępnymi informacjami włącznie z danymi historycznymi, raportami finansowymi czy prognozami ekonomicznymi. Prawdziwość tej hipotezy oznacza, że stosowanie analizy technicznej i fundamentalnej nie pomaga przy podejmowaniu decyzji inwestycyjnych w celu osiągnięcia ponadprzeciętnych zysków.
Ostatnią z hipotez jest silna hipoteza rynku efektywnego, która zakłada, że na obecne ceny papierów wartościowych zawierają się wszystkie informacje, które są dostępne, nawet te niepubliczne. Prawdziwość tej hipotezy oznacza, że do osiągnięcia ponadprzeciętnych zysków nie pomoże ani analiza techniczna, ani fundamentalna, a nawet insider trading. W opublikowanym w 1980 roku artykule o tytule On the Impossibility of Informationally Efficient Markets Sanford Grossman i Joseph E. Stiglitz przedstawiali argumenty za tym, że wysoki poziom efektywności rynku jest wewnętrznie sprzeczny. W przypadku gdy potencjalni inwestorzy nie mieliby szans na osiągnięcie ponadprzeciętnych zysków, nie
mieliby też chęci do przeprowadzenia analizy papierów wartościowych w celu ich efektywnej wyceny. Można więc wywnioskować, że do elementów, które ograniczają efektywność rynków finansowych, można zaliczyć koszt analizy papierów wartościowych. Idąc dalej rynki, które wyróżniają się wysokimi kosztami analizy papierów wartościowych, mają niższy poziom efektywności, a te, które charakteryzują się niskim kosztami analizy, powinny być bardziej efektywne.

8. Założenia i definicje

Hipoteza o efektywności rynku kapitałowego mówi, że ceny papierów wartościowych, które są w publicznym obrocie, powinny w dowolnym momencie odzwierciedlać wszystkie dostępne informacje na ich temat oraz powinny stanowić najbardziej precyzyjne przybliżenie rzeczywistej wartości wewnętrznej papierów wartościowych. W przeciągu kilku ostatnich dziesięcioleci poprawność tej teorii stała się tematem licznych dyskusji, głównie ze względu na liczne kontrowersyjne anomalie, które można było obserwować empirycznie na rynku. Z drugiej strony hipoteza ta jest bazowym założeniem dla wielu modeli wyceny papierów wartościowych.
Hipoteza o efektywności rynku kapitałowego składa się z trzech uzupełniających się założeń. Pierwsze z nich mówi, że inwestorzy przeprowadzają racjonalną wycenę walorów i są ukierunkowani na maksymalizację funkcji użyteczności, innymi słowy dążą do osiągnięcia jak najwyższych zysków. Po drugie, zakłada się, że w przypadku gdy część inwestorów swoimi decyzjami okaże się nieracjonalna, to ich jednostkowe działania przybiorą charakter losowy i nie będą miały wpływu na ceny, ponieważ będą się wspólnie neutralizować. Jest to taki rodzaj argumentacji, który nawiązuje do założenia indywidualności inwestorów, zatem podczas dokonywania własnej analizy dostępnych informacji
nie będą miały miejsce zachowania grupowe czy różnego rodzaju efekty naśladownictwa.
Trzecią koncepcją jest to, że w przypadku gdy inwestorzy postępują nieracjonalnie w analogiczny sposób, mogąc swoimi działaniami przyczynić się do zmiany poziomu cen, do akcji wkraczają racjonalni inwestorzy, którzy z wykorzystaniem arbitrażu neutralizują wpływ nieracjonalnych inwestorów. W celu efektywnej wyceny papierów wartościowych na rynku kapitałowym w głównej mierze to ostatnie założenie uznawane jest jako kluczowe.
Przeciwnicy hipotezy o efektywności rynku kapitałowego, w tym reprezentanci finansów behawioralnych, negują trzy fundamentalne założenia wspominane w powyższym akapicie, argumentując to tym, że inwestorzy nie radzą sobie z prawidłową wyceną papierów wartościowych oraz ich nieracjonalne działania nie mają charakteru jednostkowego, lecz częściej zbiorowy. Kolejnym argumentem jest to, że odchylenia od prawidłowej wyceny nie zawsze mogą być neutralizowane przez arbitrażystów działających racjonalnie, ponieważ nawet oni często podlegają ograniczeniom, przez które nie mogą korzystać z zauważonych przez nich odchyleń w wycenie papierów wartościowych.
Portfel replikujący tworzą trzy obligacje tego samego emitenta. Aby prawidłowo dobrać te obligacje, sortujemy wszystkie wyemitowane obligacje tego samego emitenta według czasu trwania. Jako pierwszą wybieramy obligację, która ma najbliższe duration niższe niż obligacja docelowa. Jako drugą dobieramy obligację z najbliższym duration, ale wyższym niż obligacja docelowa. Można więc powiedzieć, że pierwsze dwie obligacje są najbliższe obligacji docelowej, ale znajdują się po jej przeciwnych stronach na osi duration. Trzecia obligacja znajduje się obok obligacji o najmniejszej bezwzględnej różnicy duration
w stosunku do obligacji docelowej (spośród dwóch pierwszych obligacji włącznie). Obligacje w portfelu replikującym są zatem najbliższymi substytutami obligacji docelowych. Obligację docelową oznaczamy przez b, a obligacje w portfelu replikującym przez i = 1, 2, 3. Czas trwania i wypukłość obligacji oznaczamy odpowiednio przez di oraz ci
Obliczamy zmodyfikowane duration i wypukłość przy użyciu średniej rentowności. Każdego dnia i dla każdej obligacji, wagi wi w portfelu replikującym jako ułamek wartościnominalnej są tak dobrane, aby spełniać równania:

Taki układ równań wymaga, aby portfel replikujący miał takie samo duration taką samą wypukłość  i taką samą wartość nominalną  jak obligacja docelowa. Bez utraty ogólności, normalizujemy wagę wb do 1. W celu eliminacji ekstremalnych wag portfela przyjmujemy następujące założenia:

Założenie (1.4) oznacza, że portfel replikujący nie miesza pozycji krótkich i długich.
Założenie (1.5) mówi, że wartość względna uśrednia informacje z cen kilku sąsiadujących obligacji. W przypadku gdy nierówność w założeniu (1.4) jest wiążąca, układ zdefiniowany przez równania (1.1, 1.2, 1.3) może nie mieć rozwiązania. W takim wypadku rozluźniamy warunek wypukłości w równaniu (1.2), lecz minimalizujemy różnicę w wypukłości pomiędzy portfelem docelowym a replikującym podlegające
równaniom (1.1), (1.3) i (1.4):

W taki sposób sprawdziliśmy, że różnice w wypukłości nie wpływają na nasze wyniki.
Obliczanie wartości względnej za pomocą cen Bid i Ask- polega na obliczaniu rentowności do terminu zapadalności portfela replikującego przy użyciu wag w1, w2, w3 oraz stopy zwrotu bid, mid i ask obligacji i:

Gdy rentowność obligacji docelowej jest wyższa niż rentowność portfela replikującego, strategią arbitrażową pozwalającą na czerpanie zysków z tego odchylenia jest kupno obligacji docelowej i krótka sprzedaż portfela replikującego. Odwrotna strategia jest opłacalna, gdy obserwowana rentowność obligacji docelowej jest niższa niż w przypadku portfela replikującego. Różnica w oczekiwanych między portfelem docelowym a portfelem replikującym nie ma wpływu na wspólne ruchy stóp zwrotu (aż do przybliżenia drugiego rzędu). Wartość względna wynosi rν+b = y ask b − y¨ bid, gdy obligacja docelowa jest droga w stosunku do jej portfela replikującego, natomiast wartość względna wynosi rν−b = −y bid
b +¨y ask. gdy obligacja docelowa jest tania w stosunku do jej portfela replikującego. Należy zauważyć, że rν+bi rν−b nie mogą być ściśle dodatnie w tym samym czasie: obligacja docelowa nie może być jednocześnie droga i tania w stosunku do swojego portfela replikującego. Jednakże rν+b i rν−b mogą być jednocześnie ujemne z powodu spreadów bid-ask. Wartośćwzględna obligacji docelowej b jest zdefiniowana jako:

co oznacza, że rνb przyjmuje wartość ujemną −rν−b, gdy cel jest stosunkowo tani. Zauważmy, że rνb jest ustawione na 0, jeżeli rν+bi rν−bsą ujemne, ponieważ brak arbitrażu utrzymuje się w tym przypadku, gdy uwzględnimy koszty transakcji.w tym przypadku po uwzględnieniu kosztów transakcji. Alternatywna definicja wykorzystuje średnie zyski:

Ta definicja daje większe wartości względne niż nasz przypadek podstawowy i zawyża obecność ograniczeń arbitrażu. Wprowadzamy również miarę opartą na krzywej crνb,j , która jest odległością między obligacją j a szacunkową krzywą dochodowości. Aby oszacować tę krzywą, ściśle trzymamy się implementacji w (Hu et al., 2013). . Wprowadzamy jednak korektę dla spreadu bid-ask, tak aby benchmark i miara wartości względnej były porównywalne. W celu uwzględnienia spreadów między ofertami kupna i sprzedaży korekta nie może być taka sama jak w równaniu (1.10), ponieważ nie ma ofert kupna dla szacowanej krzywej dochodowości. Zamiast tego odległość między średnim kwotowaniem a szacowaną krzywą, uwzględniająca rozpiętość bid-ask, jest określona przez:

gdzie (y ask b − y bid b) jest rozpiętością między ceną kupna a sprzedaży obligacji docelowej.
Podobnie jak w przypadku wartości względnej, miara oparta na krzywej jest określona jako:

9. Model efektywnej strategii arbitrażowej

Strategię pseudotransakcyjną stosujemy w celu pomiaru zawartości ekonomicznej wskaźnika wartości względnej. Idea jest taka, że sygnał, który prawidłowo identyfikuje granice arbitrażu, powinien generować zysk, natomiast sygnał słabo skorelowany lub nieskorelowany z granicami arbitrażu nie powinien generować żadnych zysków. Strategia pseudotransakcyjna ignoruje niektóre z ryzyk oraz ograniczeń, z jakimi spotykają się arbitrażyści. Jest to cecha, a nie błąd. Symulacja handlowa dostarcza zatem obiektywnych kryteriów ekonomicznych do oceny jakości miar wartości względnej na poziomie obligacji, które tworzą indeks. Wyniki pokazują, że wartość względna zapewnia poprawę w stosunku do
miary opartej na krzywej. Wyniki pokazują również, że korzyści wynikające ze wskaźnika wartości względnej wynikają z błędów pomiaru w przypadku wskaźnika opartego na krzywej.
Używamy wartości względnej, albo miary opartej na krzywej jako sygnału, aby określić, czy dana obligacja stanie się celem nowej transakcji. Jeśli tak, wdrażamy tę samą strategię handlową niezależnie od sygnału. Następnie łączymy transakcje w portfel i śledzimy zwroty z portfela. Jedyną różnicą pomiędzy portfelami jest sygnał używany do generowania transakcji.
Rozpoczynamy nową transakcję, gdy wartość bezwzględna sygnału jest większa od pewnego progu: |rvb| > τ lub |crvb| > τ . Jeśli obligacja jest celem, wdrażamy tę samą strategię motyla niezależnie od tego, który sygnał jest używany. Każda transakcja ma początkowo zerowy czas trwania i niemal zerową wypukłość, a zatem niesie ze sobą niewielkie ryzyko stopy procentowej. Należy zauważyć, że dostosowujemy miarę opartą na krzywej, aby uwzględnić spread bid-ask. W przeciwnym razie miara oparta na krzywej byłaby w niekorzystnej sytuacji jako sygnał handlowy.

Jeśli rvb > τ , to obligacja docelowa wydaje się kosztowna. Strategia handlowa polega zatem na zakupie jednej jednostki tej obligacji i sprzedaży jednej jednostki portfela replikującego (z wagami określonymi przez równania (1.1)- (1.5)). Odwrotna strategia jest realizowana, gdy cel wydaje się tani. Zgodnie ze składem indeksu, ta obligacja nie będzie ponownie celem przed likwidacją tej pozycji. Powtarzamy to samo ćwiczenie, używając crvb > τ jako sygnał. Przedstawiamy wyniki dla τ = 0, …, 40 punktów bazowych (bps).
Przypadek τ = 0 nie jest realistyczną strategią. Jest to jednak odpowiedni punkt odniesienia, ponieważ zarówno indeks oparty na krzywej, jak i indeks wartości względnej obejmują wszystkie obligacje, które przekraczają ten próg (|crvb| > 0i|rvb| > 0, odpowiednio). Należy zauważyć, że transakcje, które spełniają ten warunek oferują potencjalne zyski co najmniej tak duże jak spread bid-ask. Jak pokażemy później, większe wartości τ > 0 są bardziej realistyczne i prowadzą do większych potencjalnych zysków.
Wszystkie transakcje są utrzymywane do momentu osiągnięcia zbieżności, co ma miejsce, gdy środek obligacji docelowej y mid b jest równa mid portfela replikującego ¨y mid , w przypadku wartości względnej, lub kiedy y mid b jest równa dopasowanej wartości ˆyb w przypadku sygnału opartego na krzywej. (Duarte et al., 2007).
Śledzimy wyniki każdej transakcji w czasie. Bardzo ważne jest, aby uwzględnić koszt przeniesienia przy obliczaniu zwrotu. Koszty przeniesienia różnią się w zależności od transakcji z powodów różnych inwestycji początkowych, różnych przepływów pieniężnych z kuponów oraz naliczonych lub wydanych odsetek. Przy obliczaniu zwrotów postępujemy zgodnie z Duarte, Longstaffem i Yu (2007). W tym celu warto pomyśleć o wyspecjalizowanym funduszu, który jest ukierunkowany na jedną obligację. Wartość kapitału własnego Et tego funduszu w czasie t jest określona przez następujące równanie:

gdzie E0 to początkowy kapitał własny lub depozyt zabezpieczający odłożony na pokrycie potencjalnych strat, Bt to pozycja gotówkowa funduszu, a Pt jest wartością rynkową obligacji docelowej i jej portfela replikującego, z uwzględnieniem spreadu bid-ask. Możemy śledzić kapitał Et tego funduszu biorąc pod uwagę początkowy kapitał E0, ewolucję jego pozycji gotówkowej Bt oraz wartość rynkową obligacji. Dla t > 0 oznaczona wartość rynkowa Pt obliczana jest tak, jakby pozycje zostały zlikwidowane po cenach
kupna i sprzedaży na koniec dnia, z uwzględnieniem naliczonych odsetek. W momencie t = 0 wartość rynkowa P0 jest rejestrowana po cenie kupna i sprzedaży z początkowych transakcji.

Zmiany pozycji gotówkowej Bt są dane wzorem:

z początkową pozycją gotówkową B0 = −P0, gdzie rft jest stopą overnight, a Ct+1 są kolejnymi kuponami otrzymanymi lub należnymi. Duarte, Longstaff i Yu (2007) wybierają początkowy kapitał własny E0 w taki sposób, aby zmienność zwrotów w próbie wynosiła średnio 10% dla wszystkich funduszy. Dla uproszczenia i porównywalności sygnałów, wybieramy E0 = 10, co jest wystarczające do pokrycia wszelkich strat. Zmienność implikowana przez ten wybór jest różna w różnych krajach. Sprawdzamy, czy zmienność wynosi około 10% lub mniej. Biorąc pod uwagę zmiany wartości akcji Ei,t, możemy obliczyć dzienne zwroty Ri,t+1dla każdego funduszu:

gdzie I oznacza liczbę funduszy w indeksie. Obliczamy zwroty z indeksu oddzielnie dla transakcji inicjowanych przez wartość względną i sygnał oparty na krzywej. Zwroty z indeksu odpowiadają portfelowi o równych wagach w poszczególnych funduszach, który jest codziennie rebalansowany. Jeśli żaden fundusz nie jest aktywny w danym dniu, zwrot z indeksu dla tego dnia jest stopą wolną od ryzyka. Wartość początkowa indeksu ustawia się na V0 = 100, a ewolucja indeksu wynosi Vt+1 = Vt(1 + R¯ t+1).